基于成对融合惩罚的左删失数据子群分析

doi:10.7523/j.ucas.2024.034

摘要/Abstract

摘要：

基于Tobit回归模型，使用成对融合惩罚的正则化方法，对具有异质性的左删失数据进行子群分析，实现了回归参数估计与子群识别的同步进行。通过引入一组新变量，将原优化问题转化为可以用交替方向乘子法求解的仅含等式约束的多变量优化问题。并且，将每一步迭代的目标函数中与损失相关的多变量函数，利用广义坐标下降算法转化为一组二次优化单变量函数。证明所提算法的收敛性，并建立所得参数估计量的大样本性质。模拟研究和实际数据分析表明所提方法具有良好性能。

关键词: 左删失数据, Tobit模型, 子群识别, 成对融合惩罚

Abstract:

We use pairwise fusion penalty regularization method， based on Tobit regression model， to perform subgroup analysis on left-censored data with heterogeneity， simultaneously estimating regression parameters and identifying subgroups. By introducing a set of new parameters， the original optimization problem is transformed into a multivariate optimization problem with equality constraints only that can be solved by alternating direction method of multipliers. Moreover， the multivariate function related to the loss in each iteration is transformed into a group of quadratic surrogate functions of single variable by generalized coordinate descent algorithm. We prove that the proposed algorithm is convergent， and establish the large sample properties of the obtained parameter estimators. Simulation studies and real data analysis show that the proposed method has good performance.

Key words: left-censored data, Tobit model, subgroup identification, pairwise fusion penalty

中图分类号:

O212.1

庞珊, 张伟平. 基于成对融合惩罚的左删失数据子群分析[J]. 中国科学院大学学报, 2026, 43(3): 296-305.

Shan PANG, Weiping ZHANG. Subgroup analysis for left-censored data based on pairwise fusion penalty[J]. Journal of University of Chinese Academy of Sciences, 2026, 43(3): 296-305.

图/表 9

表1 参数估计量RMSE和MAE的平均值和标准差

Table 1 Mean and standard deviation of RMSE and MAE of parameter estimators

$φ$		$μ ̂$		$β ̂$		$σ ̂$
$φ$		RMSE	MAE	RMSE	MAE	MAE
$q = 20 %$
1	SCAD	0.033 4（0.022 0）	0.028 8（0.018 6）	0.028 0（0.008 6）	0.027 6（0.009 7）	0.039 8（0.023 9）
	MCP	0.033 4（0.022 3）	0.027 9（0.018 1）	0.028 3（0.008 8）	0.027 6（0.009 7）	0.039 0（0.021 4）
	L₁	1.224 8（0.000 5）	1.003 4（0.002 4）	0.104 1（0.037 5）	0.093 2（0.028 0）	0.475 6（0.066 9）
	Oracle	0.018 9（0.027 4）	0.019 9（0.031 7）	0.022 9（0.013 2）	0.018 6（0.008 1）	0.019 4（0.013 5）
1.5	SCAD	0.034 1（0.022 3）	0.029 4（0.018 9）	0.027 6（0.008 6）	0.023 6（0.007 5）	0.039 4（0.020 5）
	MCP	0.032 4（0.021 4）	0.030 4（0.020 2）	0.027 9（0.008 7）	0.022 9（0.007 3）	0.040 2（0.020 3）
	L₁	0.816 5（0.000 5）	0.668 9（0.001 6）	0.087 8（0.032 6）	0.068 2（0.020 2）	0.185 1（0.054 4）
	Oracle	0.019 1（0.029 4）	0.019 8（0.023 8）	0.020 8（0.013 2）	0.016 0（0.008 2）	0.019 1（0.013 8）
2	SCAD	0.032 6（0.020 8）	0.028 0（0.017 7）	0.027 7（0.008 9）	0.023 7（0.006 8）	0.034 1（0.018 2）
	MCP	0.033 5（0.021 4）	0.028 6（0.018 0）	0.027 8（0.008 7）	0.023 0（0.007 5）	0.033 6（0.017 7）
	L₁	0.668 0（0.000 9）	0.641 1（0.000 6）	0.082 9（0.018 5）	0.082 2（0.018 3）	0.150 3（0.051 0）
	Oracle	0.019 8（0.029 5）	0.017 7（0.030 6）	0.016 5（0.038 6）	0.012 5（0.030 3）	0.018 8（0.013 4）
$q = 40 %$
1	SCAD	0.036 8（0.023 4）	0.031 6（0.018 0）	0.028 9（0.010 5）	0.026 1（0.008 5）	0.043 6（0.025 5）
	MCP	0.040 3（0.023 3）	0.035 1（0.020 2）	0.034 7（0.011 8）	0.021 9（0.007 5）	0.043 6（0.025 5）
	L₁	1.633 1（0.000 4）	1.338 7（0.003 7）	0.132 4（0.039 3）	0.110 1（0.036 0）	0.935 8（0.058 6）
	Oracle	0.020 7（0.029 0）	0.020 3（0.029 4）	0.025 4（0.010 0）	0.020 7（0.011 3）	0.018 2（0.010 8）
1.5	SCAD	0.036 3（0.020 9）	0.031 6（0.019 9）	0.034 5（0.011 4）	0.028 7（0.010 1）	0.043 5（0.022 0）
	MCP	0.040 1（0.026 2）	0.034 6（0.022 7）	0.034 5（0.011 4）	0.028 7（0.010 1）	0.044 0（0.021 9）
	L₁	1.474 9（0.000 1）	1.336 1（0.002 0）	0.127 3（0.046 9）	0.106 3（0.039 9）	0.792 2（0.064 6）
	Oracle	0.021 6（0.024 3）	0.020 3（0.028 3）	0.024 5（0.011 1）	0.021 3（0.011 2）	0.017 4（0.011 1）
2	SCAD	0.038 2（0.023 0）	0.033 0（0.019 6）	0.033 6（0.011 6）	0.027 5（0.009 7）	0.034 1（0.021 1）
	MCP	0.031 2（0.020 0）	0.031 0（0.021 4）	0.033 2（0.012 1）	0.027 2（0.008 0）	0.034 1（0.021 1）
	L₁	1.224 7（0.000 2）	1.001 9（0.001 3）	0.071 6（0.025 4）	0.059 8（0.021 9）	0.372 3（0.058 7）
	Oracle	0.019 4（0.025 2）	0.018 2（0.029 4）	0.023 8（0.010 1）	0.020 2（0.010 5）	0.017 0（0.010 9）

表1 参数估计量RMSE和MAE的平均值和标准差

Table 1 Mean and standard deviation of RMSE and MAE of parameter estimators

$φ$		$μ ̂$		$β ̂$		$σ ̂$
$φ$		RMSE	MAE	RMSE	MAE	MAE
$q = 20 %$
1	SCAD	0.033 4（0.022 0）	0.028 8（0.018 6）	0.028 0（0.008 6）	0.027 6（0.009 7）	0.039 8（0.023 9）
	MCP	0.033 4（0.022 3）	0.027 9（0.018 1）	0.028 3（0.008 8）	0.027 6（0.009 7）	0.039 0（0.021 4）
	L₁	1.224 8（0.000 5）	1.003 4（0.002 4）	0.104 1（0.037 5）	0.093 2（0.028 0）	0.475 6（0.066 9）
	Oracle	0.018 9（0.027 4）	0.019 9（0.031 7）	0.022 9（0.013 2）	0.018 6（0.008 1）	0.019 4（0.013 5）
1.5	SCAD	0.034 1（0.022 3）	0.029 4（0.018 9）	0.027 6（0.008 6）	0.023 6（0.007 5）	0.039 4（0.020 5）
	MCP	0.032 4（0.021 4）	0.030 4（0.020 2）	0.027 9（0.008 7）	0.022 9（0.007 3）	0.040 2（0.020 3）
	L₁	0.816 5（0.000 5）	0.668 9（0.001 6）	0.087 8（0.032 6）	0.068 2（0.020 2）	0.185 1（0.054 4）
	Oracle	0.019 1（0.029 4）	0.019 8（0.023 8）	0.020 8（0.013 2）	0.016 0（0.008 2）	0.019 1（0.013 8）
2	SCAD	0.032 6（0.020 8）	0.028 0（0.017 7）	0.027 7（0.008 9）	0.023 7（0.006 8）	0.034 1（0.018 2）
	MCP	0.033 5（0.021 4）	0.028 6（0.018 0）	0.027 8（0.008 7）	0.023 0（0.007 5）	0.033 6（0.017 7）
	L₁	0.668 0（0.000 9）	0.641 1（0.000 6）	0.082 9（0.018 5）	0.082 2（0.018 3）	0.150 3（0.051 0）
	Oracle	0.019 8（0.029 5）	0.017 7（0.030 6）	0.016 5（0.038 6）	0.012 5（0.030 3）	0.018 8（0.013 4）
$q = 40 %$
1	SCAD	0.036 8（0.023 4）	0.031 6（0.018 0）	0.028 9（0.010 5）	0.026 1（0.008 5）	0.043 6（0.025 5）
	MCP	0.040 3（0.023 3）	0.035 1（0.020 2）	0.034 7（0.011 8）	0.021 9（0.007 5）	0.043 6（0.025 5）
	L₁	1.633 1（0.000 4）	1.338 7（0.003 7）	0.132 4（0.039 3）	0.110 1（0.036 0）	0.935 8（0.058 6）
	Oracle	0.020 7（0.029 0）	0.020 3（0.029 4）	0.025 4（0.010 0）	0.020 7（0.011 3）	0.018 2（0.010 8）
1.5	SCAD	0.036 3（0.020 9）	0.031 6（0.019 9）	0.034 5（0.011 4）	0.028 7（0.010 1）	0.043 5（0.022 0）
	MCP	0.040 1（0.026 2）	0.034 6（0.022 7）	0.034 5（0.011 4）	0.028 7（0.010 1）	0.044 0（0.021 9）
	L₁	1.474 9（0.000 1）	1.336 1（0.002 0）	0.127 3（0.046 9）	0.106 3（0.039 9）	0.792 2（0.064 6）
	Oracle	0.021 6（0.024 3）	0.020 3（0.028 3）	0.024 5（0.011 1）	0.021 3（0.011 2）	0.017 4（0.011 1）
2	SCAD	0.038 2（0.023 0）	0.033 0（0.019 6）	0.033 6（0.011 6）	0.027 5（0.009 7）	0.034 1（0.021 1）
	MCP	0.031 2（0.020 0）	0.031 0（0.021 4）	0.033 2（0.012 1）	0.027 2（0.008 0）	0.034 1（0.021 1）
	L₁	1.224 7（0.000 2）	1.001 9（0.001 3）	0.071 6（0.025 4）	0.059 8（0.021 9）	0.372 3（0.058 7）
	Oracle	0.019 4（0.025 2）	0.018 2（0.029 4）	0.023 8（0.010 1）	0.020 2（0.010 5）	0.017 0（0.010 9）

表2 分组结果

Table 2 Grouping results

$φ$		$K ̂$	RI	ARI	$P (K ̂ = K)$ / $%$
$q = 20 %$
1	SCAD	3.03（0.222 7）	0.998 5（0.010 5）	0.996 5（0.025 3）	98
	MCP	3.03（0.258 1）	0.998 4（0.011 7）	0.996 3（0.028 4）	98
	L₁	1（0）	0.332 2（0）	0（0）	0
1.5	SCAD	3.02（0.141 4）	0.998 9（0.007 2）	0.997 5（0.017 0）	98.6
	MCP	3.03 （0.222 7）	0.998 5（0.010 5）	0.996 5（0.025 3）	98.2
	L₁	1（0）	0.332 2 （0）	0（0）	0
2	SCAD	3.02（0.2）	0.999 0（0.009 0）	0.997 7（0.022 0）	99
	MCP	3.01（0.1）	0.999 4（0.005 1）	0.998 7（0.012 0）	99
	L₁	1（0）	0.332 2（0）	0（0）	0
$q = 40 %$
1	SCAD	3.18（0.542 9）	0.990 7（0.028 7）	0.977 4（0.070 5）	97
	MCP	3.2（0.556 6）	0.990 2（0.029 5）	0.976 1（0.072 3）	96.6
	L₁	1（0）	0.331 1（0）	0（0）	0
1.5	SCAD	3.17（0.551 4）	0.991 0（0.029 4）	0.978 1（0.073 1）	98.2
	MCP	3.18（0.557 4）	0.990 5（0.029 7）	0.976 8（0.073 8）	98
	L₁	1（0）	0.331 1（0）	0（0）	0
2	SCAD	3.04（0.242 8）	0.998 0（0.011 8）	0.995 2（0.028 2）	98.8
	MCP	3.05（0.286 7）	0.997 5（0.013 5）	0.994 2（0.032 5）	98.6
	L₁	1（0）	0.331 1（0）	0（0）	0

表2 分组结果

Table 2 Grouping results

$φ$		$K ̂$	RI	ARI	$P (K ̂ = K)$ / $%$
$q = 20 %$
1	SCAD	3.03（0.222 7）	0.998 5（0.010 5）	0.996 5（0.025 3）	98
	MCP	3.03（0.258 1）	0.998 4（0.011 7）	0.996 3（0.028 4）	98
	L₁	1（0）	0.332 2（0）	0（0）	0
1.5	SCAD	3.02（0.141 4）	0.998 9（0.007 2）	0.997 5（0.017 0）	98.6
	MCP	3.03 （0.222 7）	0.998 5（0.010 5）	0.996 5（0.025 3）	98.2
	L₁	1（0）	0.332 2 （0）	0（0）	0
2	SCAD	3.02（0.2）	0.999 0（0.009 0）	0.997 7（0.022 0）	99
	MCP	3.01（0.1）	0.999 4（0.005 1）	0.998 7（0.012 0）	99
	L₁	1（0）	0.332 2（0）	0（0）	0
$q = 40 %$
1	SCAD	3.18（0.542 9）	0.990 7（0.028 7）	0.977 4（0.070 5）	97
	MCP	3.2（0.556 6）	0.990 2（0.029 5）	0.976 1（0.072 3）	96.6
	L₁	1（0）	0.331 1（0）	0（0）	0
1.5	SCAD	3.17（0.551 4）	0.991 0（0.029 4）	0.978 1（0.073 1）	98.2
	MCP	3.18（0.557 4）	0.990 5（0.029 7）	0.976 8（0.073 8）	98
	L₁	1（0）	0.331 1（0）	0（0）	0
2	SCAD	3.04（0.242 8）	0.998 0（0.011 8）	0.995 2（0.028 2）	98.8
	MCP	3.05（0.286 7）	0.997 5（0.013 5）	0.994 2（0.032 5）	98.6
	L₁	1（0）	0.331 1（0）	0（0）	0

表3 混合正态误差下参数估计量的RMSE和MAE平均值和标准差

Table 3 Mean and standard deviation of RMSE and MAE of parameter estimators with mixed normal error

$φ$		$μ ̂$		$β ̂$		$σ ̂$
$φ$		RMSE	MAE	RMSE	MAE	MAE
1	SCAD	0.040 1（0.023 2）	0.034 4（0.019 6）	0.034 7（0.012 7）	0.029 3（0.010 9）	0.032 6（0.019 7）
	MCP	0.041 0（0.022 9）	0.035 2（0.019 3）	0.035 0（0.012 1）	0.029 5（0.010 7）	0.032 4（0.019 6）
	Oracle	0.029 4（0.025 2）	0.021 5（0.023 0）	0.018 0（0.013 9）	0.011 6（0.011 8）	0.021 4（0.014 2）
1.5	SCAD	0.041 1（0.026 2）	0.035 0（0.022 2）	0.034 8（0.012 3）	0.029 3（0.010 5）	0.039 0（0.022 0）
	MCP	0.041 3（0.026 3）	0.035 2（0.022 2）	0.034 8（0.012 3）	0.029 3（0.010 5）	0.039 0（0.021 9）
	Oracle	0.028 9（0.024 3）	0.021 1（0.022 2）	0.017 9（0.013 1）	0.011 7（0.011 1）	0.021 1（0.014 3）

表3 混合正态误差下参数估计量的RMSE和MAE平均值和标准差

Table 3 Mean and standard deviation of RMSE and MAE of parameter estimators with mixed normal error

$φ$		$μ ̂$		$β ̂$		$σ ̂$
$φ$		RMSE	MAE	RMSE	MAE	MAE
1	SCAD	0.040 1（0.023 2）	0.034 4（0.019 6）	0.034 7（0.012 7）	0.029 3（0.010 9）	0.032 6（0.019 7）
	MCP	0.041 0（0.022 9）	0.035 2（0.019 3）	0.035 0（0.012 1）	0.029 5（0.010 7）	0.032 4（0.019 6）
	Oracle	0.029 4（0.025 2）	0.021 5（0.023 0）	0.018 0（0.013 9）	0.011 6（0.011 8）	0.021 4（0.014 2）
1.5	SCAD	0.041 1（0.026 2）	0.035 0（0.022 2）	0.034 8（0.012 3）	0.029 3（0.010 5）	0.039 0（0.022 0）
	MCP	0.041 3（0.026 3）	0.035 2（0.022 2）	0.034 8（0.012 3）	0.029 3（0.010 5）	0.039 0（0.021 9）
	Oracle	0.028 9（0.024 3）	0.021 1（0.022 2）	0.017 9（0.013 1）	0.011 7（0.011 1）	0.021 1（0.014 3）

表4 混合正态误差下的分组结果

Table 4 Grouping results with mixed normal error

$φ$		$K ̂$	RI	ARI	$P (K ̂ = K)$ /%
1	SCAD	3（0）	1（0）	1（0）	100
1	MCP	3（0）	1（0）	1（0）	100
1.5	SCAD	3（0）	1（0）	1（0）	100
1.5	MCP	3（0）	1（0）	1（0）	100

表4 混合正态误差下的分组结果

Table 4 Grouping results with mixed normal error

$φ$		$K ̂$	RI	ARI	$P (K ̂ = K)$ /%
1	SCAD	3（0）	1（0）	1（0）	100
1	MCP	3（0）	1（0）	1（0）	100
1.5	SCAD	3（0）	1（0）	1（0）	100
1.5	MCP	3（0）	1（0）	1（0）	100

表5 K=5时，参数估计量的RMSE和MAE平均值和标准差

Table 5 Mean and standard deviation of RMSE and MAE of parameter estimators when K=5

$φ$		$μ ̂$		$β ̂$		$σ ̂$
$φ$		RMSE	MAE	RMSE	MAE	MAE
1	SCAD	0.037 3（0.020 4）	0.032 0（0.017 6）	0.028 6（0.009 9）	0.023 9（0.008 7）	0.041 9（0.023 8）
	MCP	0.037 4（0.020 2）	0.032 0（0.017 5）	0.028 8（0.009 8）	0.024 0（0.008 4）	0.042 1（0.023 8）
	Oracle	0.027 3（0.018 5）	0.018 2（0.016 1）	0.010 8（0.010 7）	0.015 8（0.009 2）	0.016 8（0.011 8）
1.5	SCAD	0.033 6（0.018 2）	0.028 7（0.015 8）	0.028 1（0.009 7）	0.023 2（0.008 5）	0.046 7（0.026 1）
	MCP	0.033 6（0.017 6）	0.028 7（0.015 4）	0.028 2（0.009 6）	0.023 4（0.008 1）	0.046 9（0.026 0）
	Oracle	0.022 3（0.019 1）	0.017 8（0.016 6）	0.019 8（0.010 4）	0.014 7（0.009 1）	0.015 9（0.011 7）

表5 K=5时，参数估计量的RMSE和MAE平均值和标准差

Table 5 Mean and standard deviation of RMSE and MAE of parameter estimators when K=5

$φ$		$μ ̂$		$β ̂$		$σ ̂$
$φ$		RMSE	MAE	RMSE	MAE	MAE
1	SCAD	0.037 3（0.020 4）	0.032 0（0.017 6）	0.028 6（0.009 9）	0.023 9（0.008 7）	0.041 9（0.023 8）
	MCP	0.037 4（0.020 2）	0.032 0（0.017 5）	0.028 8（0.009 8）	0.024 0（0.008 4）	0.042 1（0.023 8）
	Oracle	0.027 3（0.018 5）	0.018 2（0.016 1）	0.010 8（0.010 7）	0.015 8（0.009 2）	0.016 8（0.011 8）
1.5	SCAD	0.033 6（0.018 2）	0.028 7（0.015 8）	0.028 1（0.009 7）	0.023 2（0.008 5）	0.046 7（0.026 1）
	MCP	0.033 6（0.017 6）	0.028 7（0.015 4）	0.028 2（0.009 6）	0.023 4（0.008 1）	0.046 9（0.026 0）
	Oracle	0.022 3（0.019 1）	0.017 8（0.016 6）	0.019 8（0.010 4）	0.014 7（0.009 1）	0.015 9（0.011 7）

表6 K=5时的分组结果

Table 6 Grouping results when K=5

$φ$		$K ̂$	RI	ARI	$P (K ̂ = K)$ /%
1	SCAD	5（0）	1（0）	1（0）	100
1	MCP	5（0）	1（0）	1（0）	100
1.5	SCAD	5（0）	1（0）	1（0）	100
1.5	MCP	5（0）	1（0）	1（0）	100

表6 K=5时的分组结果

Table 6 Grouping results when K=5

$φ$		$K ̂$	RI	ARI	$P (K ̂ = K)$ /%
1	SCAD	5（0）	1（0）	1（0）	100
1	MCP	5（0）	1（0）	1（0）	100
1.5	SCAD	5（0）	1（0）	1（0）	100
1.5	MCP	5（0）	1（0）	1（0）	100

表7 分组准确度

Table 7 Grouping accuracy

	$K ̂$	RI	ARI
Tobit SCAD	2	0.924	0.771
Tobit MCP	2	0.924	0.771

表7 分组准确度

Table 7 Grouping accuracy

	$K ̂$	RI	ARI
Tobit SCAD	2	0.924	0.771
Tobit MCP	2	0.924	0.771

表8 不同方法的参数估计值

Table 8 Parameter estimates for different methods

	$τ ̂ 1$	$τ ̂ 2$	$β ̂ 1$	$β ̂ 2$	$β ̂ 3$	$σ ̂$
Tobit SCAD	2.720	5.073	-0.098	-0.138	-0.092	0.134
Tobit MCP	2.744	5.090	-0.102	-0.146	-0.093	0.136
Oracle	2.694	5.450	-0.072	-0.133	-0.089	0.158

表8 不同方法的参数估计值

Table 8 Parameter estimates for different methods

	$τ ̂ 1$	$τ ̂ 2$	$β ̂ 1$	$β ̂ 2$	$β ̂ 3$	$σ ̂$
Tobit SCAD	2.720	5.073	-0.098	-0.138	-0.092	0.134
Tobit MCP	2.744	5.090	-0.102	-0.146	-0.093	0.136
Oracle	2.694	5.450	-0.072	-0.133	-0.089	0.158

表9 不同方法的Tobit损失和预测MSE

Table 9 Tobit losses and predicted MSEs for different methods

	Tobit损失	MSE
Tobit SCAD	1.290（0.038）	0.053（0.018）
Tobit MCP	1.290（0.039）	0.068（0.023）
Oracle	0.874（0.027）	0.044（0.014）

参考文献 30

[1]	Tobin J. Estimation of relationships for limited dependent variables［J］. Econometrica， 1958， 26（1）： 24. DOI： 10.2307/1907382 .
[2]	Buckley J， James I. Linear regression with censored data［J］. Biometrika， 1979， 66（3）： 429-436. DOI： 10.1093/biomet/66.3.429 .
[3]	Miller R G. Least squares regression with censored data［J］. Biometrika， 1976， 63（3）： 449-464. DOI： 10.1093/biomet/63.3.449 .
[4]	Wei L J， Ying Z， Lin D Y. Linear regression analysis of censored survival data based on rank tests［J］. Biometrika， 1990， 77（4）： 845-851. DOI： 10.1093/biomet/77.4.845 .
[5]	Prentice R L. Linear rank tests with right censored data［J］. Biometrika， 1978， 65（1）： 167-179. DOI： 10.1093/biomet/65.1.167 .
[6]	陈菲菲，孙志华，叶雪. 失效信息随机缺失时可加危险率模型的统计推断［J］. 中国科学院大学学报， 2016， 33（4）： 443-453. DOI： 10.7523/j．issn．2095-6134.2016.04.003 .
[7]	Cuzick J. Asymptotic properties of censored linear rank tests［J］. The Annals of Statistics， 1985， 13（1）： 133-141. DOI： 10.1214/aos/1176346581 .
[8]	Fay M P， Shaw P A. Exact and asymptotic weighted logrank tests for interval censored data： the interval r package［J］. Journal of Statistical Software， 2010， 36（2）： 1-34. DOI： 10.18637/jss.v036.i02 .
[9]	Amemiya T. Regression analysis when the dependent variable is truncated normal［J］. Econometrica， 1973， 41（6）： 997. DOI： 10.2307/1914031 .
[10]	Olsen R J. Note on the uniqueness of the maximum likelihood estimator for the Tobit model［J］. Econometrica， 1978， 46（5）： 1211. DOI： 10.2307/1911445 .
[11]	Amemiya T. Tobit models： a survey［J］. Journal of Econometrics， 1984， 24（1/2）： 3-61. DOI： 10.1016/0304-4076（84）90074-5 .
[12]	Turnbull B W. The empirical distribution function with arbitrarily grouped， censored and truncated data［J］. Journal of the Royal Statistical Society Series B： Statistical Methodology， 1976， 38（3）： 290-295. DOI： 10.1111/j.2517-6161.1976.tb01597.x .
[13]	Zhou M. Empirical likelihood ratio with arbitrarily censored/truncated data by EM algorithm［J］. Journal of Computational and Graphical Statistics， 2005， 14（3）： 643-656. DOI： 10.1198/106186005x59270 .
[14]	Everitt B S， Hand D J. Finite mixture distributions［M］. Dordrecht： Springer Netherlands， 1981. DOI： 10.1007/978-94-009-5897-5 .
[15]	Wei S S， Kosorok M R. Latent supervised learning［J］. Journal of the American Statistical Association， 2013， 108（503）： 957-970. DOI： 10.1080/01621459.2013.789695 .
[16]	Shen J， He X M. Inference for subgroup analysis with a structured logistic-normal mixture model［J］. Journal of the American Statistical Association， 2015， 110（509）： 303-312. DOI： 10.1080/01621459.2014.894763 .
[17]	Wu R F， Zheng M， Yu W. Subgroup analysis with time-to-event data under a logistic-cox mixture model［J］. Scandinavian Journal of Statistics， 2016， 43（3）： 863-878. DOI： 10.1111/sjos.12213 .
[18]	Ma S J， Huang J. A concave pairwise fusion approach to subgroup analysis［J］. Journal of the American Statistical Association， 2017， 112（517）： 410-423. DOI： 10.1080/01621459.2016.1148039 .
[19]	Ma S J， Huang J， Zhang Z W， et al. Exploration of heterogeneous treatment effects via concave fusion［J］. The International Journal of Biostatistics， 2020， 16（1）： arXiv： 1607.03717. DOI： 10.1515/ijb-2018-0026 .
[20]	Chen J X， Tran-Dinh Q， Kosorok M R， et al. Identifying heterogeneous effect using latent supervised clustering with adaptive fusion［J］. Journal of Computational and Graphical Statistics： a Joint Publication of American Statistical Association， Institute of Mathematical Statistics， Interface Foundation of North America， 2021， 30（1）： 43-54. DOI： 10.1080/10618600.2020.1763808 .
[21]	许赵辉，郑泽敏，吴捷. 基于加速失效模型的子群分析方法［J］. 应用概率统计， 2023， 39（5）： 765-780. DOI： 10.3969/j.issn.1001-4268.2023.05.010 .
[22]	Fan J Q， Li R Z. Variable selection via nonconcave penalized likelihood and its oracle properties［J］. Journal of the American Statistical Association， 2001， 96（456）： 1348-1360. DOI： 10.1198/016214501753382273 .
[23]	Zhang C H. Nearly unbiased variable selection under minimax concave penalty［J］. The Annals of Statistics， 2010， 38（2）： 894-942. DOI： 10.1214/09-aos729 .
[24]	Yang Y， Zou H. An efficient algorithm for computing the HHSVM and its generalizations［J］. Journal of Computational and Graphical Statistics， 2013， 22（2）： 396-415. DOI： 10.1080/10618600.2012.680324 .
[25]	Wang H S， Li R Z， Tsai C L. Tuning parameter selectors for the smoothly clipped absolute deviation method［J］. Biometrika， 2007， 94（3）： 553-568. DOI： 10.1093/biomet/asm053 .
[26]	Wang H S， Li B， Leng C L. Shrinkage tuning parameter selection with a diverging number of parameters［J］. Journal of the Royal Statistical Society Series B： Statistical Methodology， 2009， 71（3）： 671-683. DOI： 10.1111/j.1467-9868.2008.00693.x .
[27]	Yan X D， Yin G S， Zhao X Q. Subgroup analysis in censored linear regression［J］. Statistica Sinica， 2021： 1027-1054. DOI： 10.5705/ss.202018.0319 .
[28]	Miller R， Halpern J. Regression with censored data［J］. Biometrika， 1982， 69（3）： 521-531. DOI： 10.1093/biomet/69.3.521 .
[29]	Gandhi R T， Tashima K T， Smeaton L M， et al. Long-term outcomes in a large randomized trial of HIV-1 salvage therapy： 96-week results of AIDS clinical trials group a5241 （options）［J］. The Journal of Infectious Diseases， 2020， 221（9）： 1407-1415. DOI： 10.1093/infdis/jiz281 .
[30]	Jacobson T， Zou H. High-dimensional censored regression via the penalized tobit likelihood［J］. Journal of Business & Economic Statistics， 2024， 42（1）： 286-297. DOI： 10.1080/07350015.2023.2182309 .